Geometri Konuları

ABC üçgenini ele alalım. C köşesinden AB kenarına paralel bir doğru çizelim.

Paralel doğrular ve yöndeş açılar kuralına göre:

∠A = ∠ACD (iç ters açılar)

∠B = ∠BCE (yöndeş açılar)

ACB doğrusal olduğundan: ∠ACD + ∠ACB + ∠BCE = 180°

Yerine koyarsak: ∠A + ∠ACB + ∠B = 180°

Böylece üçgenin iç açıları toplamının 180° olduğu ispatlanır.

O merkezli çemberde, A ve B noktaları arasındaki yayı gören çevre açı ACB olsun. Üç durum vardır:

1. AOB merkez açısının kenarlarından biri ACB açısının kenarıyla çakışıksa

2. AOB merkez açısı ACB çevre açısını içine alıyorsa

3. AOB merkez açısı ACB çevre açısını içine almıyorsa

Her durumda üçgenlerin iç açıları toplamı ve ikizkenar üçgen özellikleri kullanılarak ACB = AOB/2 olduğu gösterilebilir.

Arşimet, bir kürenin hacminin, yarıçapı ve yüksekliği kürenin yarıçapına eşit olan bir silindirin hacminin 2/3'üne eşit olduğunu kanıtlamıştır.

Silindir hacmi: V_silindir = πr²·h = πr²·(2r) = 2πr³

Küre hacmi: V_küre = (2/3)·2πr³ = (4/3)πr³

Birim çember üzerinde, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 olan bir çember düşünelim.

Çember üzerindeki bir P(x, y) noktası için: x = cosθ, y = sinθ

Birim çember denklemi: x² + y² = 1

Yerine koyarsak: cos²θ + sin²θ = 1

Kosinüs teoremini kullanarak:

u⃗, v⃗ ve u⃗-v⃗ vektörlerinden oluşan üçgeni ele alalım.

Kosinüs teoremine göre: |u⃗-v⃗|² = |u⃗|² + |v⃗|² - 2|u⃗||v⃗|cosθ

Diğer taraftan: |u⃗-v⃗|² = (u⃗-v⃗)·(u⃗-v⃗) = u⃗·u⃗ - 2u⃗·v⃗ + v⃗·v⃗ = |u⃗|² - 2u⃗·v⃗ + |v⃗|²

İki ifadeyi eşitlersek: |u⃗|² - 2u⃗·v⃗ + |v⃗|² = |u⃗|² + |v⃗|² - 2|u⃗||v⃗|cosθ

Sadeleştirirsek: -2u⃗·v⃗ = -2|u⃗||v⃗|cosθ ⇒ u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cosθ